Il resto della divisione di un quadrato esatto per un numero primo P si chiama RESIDUO QUADRATICO di P. Ad esempio 64 (8x8) diviso per 29 (numero primo) fa 2 con resto 6, allora potremo dire che 6 è un residuo quadratico di P.
Tutti i numeri primi P hanno (P-1)/2 residui quadratici e (P-1)/2 non residui quadratici. Reconsidering our prime number 29, we have:
quadratic residue of 29:
1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28. (14 residues).
not quadratic residues of 29:
2,3,8,10,11,12,14,15,17,18.19.21.26,27. (14 non-residue).
there a way to check whether an integer is any residue or quadratic residue of a prime number P is estimated for the remainder of the division of this number increased to P (P-1) / 2. If this remainder is 1, then the number is quadratic residue of P, if this remainder is (P-1), then this number is not a quadratic residue of P.
For example, the remainder of the division for 29 of 2 to 14 is 28, for which 2 è non residuo quadratico di 29. Invece il resto della divisione per 29 di 5 elevato alla 14 è 1, per cui 5 è un residuo quadratico di 29.
Tutti i numeri primi si dividono in due grandi famiglie: quelli della forma 4n+1 e quelli della forma 4n+3.
Ad esempio 29 è della forma 4n+1 perchè 29 = 4x7 + 1, mentre 43 è della forma 4n+3 perchè 43 = 4x10 + 3. Orbene, se P è un numero primo della forma 4n+1, allora, se a è un suo residuo quadratico, (P-a) sarà anche un suo residuo quadratico. Invece, se P è un numero primo della forma 4n+3, allora, se a è un suo residuo quadratico, (P-a) sarà un suo non residuo quadratico.
Per esempio 5 è un residuo quadratico di 29 (4x7 + 1), per cui (29-5) = 24 sarà anch'esso un residuo quadratico di 29.
Da questa proprietà deriva il fatto che, se P è un numero primo della forma 4n+1, allora è esprimibile in uno ed un solo modo come somma di due quadrati esatti, mentre, se P è un numero primo della forma 4n+3, allora non sarà mai esprimibile come somma di due quadrati esatti.
Una delle scoperte più affascinanti della Matematica è la legge della reciprocità quadratica. Essa afferma che le caratteristiche quadratiche di due numeri primi P e Q sono eguali tranne nel caso che i due numeri siano entrambi della forma 4n+3.
Ad esempio 13 è residuo quadratico di 29, allora anche 29 è residuo quadratico di 13, perchè sono entrambi della forma 4n+1. 19 è un non residuo quadratico di 43, allora 43 è un residuo quadratico di 19 perchè sono entrambe della forma 4n+3. 29 è un residuo quadratico di 83, allora 83 è un residuo quadratico di 29 perchè non sono entrambi della forma 4n+3.
"La Matematica è la regina delle scienze e la Teoria dei numeri è la regina delle Matematiche" (Carl Friedrich Gauss).
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